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Engenharia

Engenharia Civil – Análise Estrutural

By 18 de março de 2019 No Comments

1. Elementos estruturais

 

Toda construção necessita de uma estrutura suporte, que por sua vez necessita de projeto, planejamento e execução própria.  A Estrutura em uma construção possui função prioritária de garantir a forma espacial idealizada, com segurança, por um determinado período de tempo.

Estruturas ou sistemas estruturais podem ser entendidas como disposições racionais e adequadas de diversos elementos estruturais. Já os Elementos estruturais são corpos sólidos deformáveis com capacidade de receber e de transmitir solicitações em geral. Podem ser:

  • Linear: duas dimensões da mesma ordem de grandeza e bem menores que a terceira (Barras);

  • Superfície: duas dimensões da mesma ordem de grandeza e bem maiores que a terceira;

Volume: três dimensões da mesma ordem de grandeza.

As estruturas lineares são Formadas por uma ou mais barras (vigas, pilares, arcos, pórticos, grelhas, etc.).

As vigas são estruturas lineares, dispostas horizontalmente ou inclinadas, com um ou mais apoios.

Viga invertida é o tipo de viga em que a laje é apoiada em sua parte inferior, de tal modo que o plano inferior da mesma coincida com o plano inferior da laje. Assim como a viga chata, a viga invertida é um artifício utilizado para esconder o vigamento quando ele não deve estar aparente no teto.

 

As treliças são estruturas lineares constituídas por barras retas, dispostas de modo a formar painéis triangulares, e solicitadas predominantemente por tração ou compressão.

  • Painel: trecho de uma estrutura linear compreendido entre dois alinhamentos consecutivos de montantes;
  • : junção das extremidades das barras de uma estrutura linear;
  • Viga treliçada: treliça de banzos paralelos;
  • Tesoura: treliça de banzos não paralelos, destinada ao suporte de uma cobertura.

Pilares são barras onde predominam forças normais de compressão. Com seção circular, recebem a denominação de colunas.

Pórticos são estruturas lineares planas, não sendo constituídas de barra única de eixo teoricamente retilíneo.

As grelhas são constituídas por estruturas lineares (vigas), situadas em um mesmo plano, formando uma malha que recebem solicitações não coplanares.

As estruturas pênseis são estruturas lineares cujos elementos principais são constituídos por cabos.

  • Fio: barras que só podem resistir a solicitações de tração segundo seu eixo;
  • Cabo: conjunto de fios;
  • Rede: estrutura linear não plana, cujas barras se dispõem de modo que seus eixos se situam em uma superfície homeoforma do plano.

Os arcos são barras curvas, em que os esforços solicitantes predominantes são forças normais de compressão, agindo simultaneamente ou não, com momentos fletores.

Estruturas de superfície são definidas a partir de sua superfície média e lei de variação da sua espessura. Destacam-se as placas, chapas e cascas.

  • Chapa: folha plana sujeita a esforços apenas no seu plano médio;
  • Viga-parede: chapa disposta verticalmente sobre apoios isolados;
  • Placa: folha plana sujeita principalmente a esforços fora do seu plano médio.

  • Casca: folha curva sujeita a esforços no seu plano médio;
  • Abóboda: casca cilíndrica sujeita principalmente a esforços normais de compressão.

  • Cúpula: casca de dupla curvatura sujeita principalmente a esforços de compressão;
  • Folha prismática: folha poliédrica de arestas paralelas.

Estruturas de bloco são elementos estruturais comumente empregados nas fundações das construções ou também em grandes obras, como barragens.

No dimensionamento das treliças metálicas, considera-se o fato de que as barras funcionam com esforços de tração ou compressão.

 

 

2. Equilíbrio em um corpo rígido

 

As condições de equilíbrio garantem o equilíbrio estático de qualquer porção isolada da estrutura ou da estrutura como um todo. Elas estão baseadas nas três leis de Newton:

1ª Lei de Newton (Princípio da Inércia): “Todo corpo permanece em seu estado de repouso ou de movimentos retilíneo uniforme até que uma ação externa, não equilibrada, atue sobre ele”.

2ª Lei de Newton: “A partir do momento em que o corpo ficar submetido à ação de uma força resultante F, o corpo irá adquirir uma aceleração a, de tal forma F = ma, sendo m a massa do corpo”.

3ª Lei de Newton: “A toda ação corresponde uma reação de mesma intensidade e de sentido contrário”.

Estruturas civis estão sempre em estado de repouso (velocidade e aceleração nulas). Portanto, “a força resultante em uma estrutura deve ser nula”.

Lembre-se que uma força é uma grandeza vetorial, com intensidade, direção e sentido. Para o caso de quadros planos, a imposição de resultante de força nula fornece duas condições para o equilíbrio global da estrutura.

Somatório de forças na direção horizontal deve ser nulo:

Somatório de forças na direção vertical deve ser nulo:

   

Uma estrutura tem dimensões grandes e tem comportamento diferente de uma partícula sem dimensão. Além disso, as cargas atuam em uma estrutura em vários pontos de aplicação. Nesse caso, a ação à distância de uma força deve ser considerada. O efeito de uma força F atuando à distância h é chamado de momento: M = F x h.

Assim, a 2ª lei de Newton, para estruturas em repouso, pode ser estendida para momentos: “o momento resultante em uma estrutura deve ser nulo”. No caso de quadros planos, isso resulta em mais uma condição para o equilíbrio global da estrutura:

Essa condição de equilíbrio garante que o corpo não vai girar.

Estruturas civis se deformam quando submetidas a solicitações (cargas, etc.). Mas as deformações e os deslocamentos de estruturas são muito pequenos, a ponto de serem desprezados quando são impostas condições de equilíbrio. Isto é, as condições de equilíbrio são impostas para a geometria original (indeformada) da estrutura. Esta hipótese é chamada de hipótese de pequenos deslocamentos.

 

Tipos de apoio

Em um modelo estrutural, as ligações com o meio externo têm que ser especificadas. Isso é feito através de restrições de apoios, também denominadas vínculos externos. Em um quadro plano, um apoio pode restringir o deslocamento horizontal x, o deslocamento vertical y, ou a rotação z no ponto da estrutura onde está posicionada.

Além disso, um apoio pode impedir cada componente de deslocamento ou rotação em separado, aos pares, ou todos juntos. Os tipos mais comuns de apoios estão indicados abaixo, onde também estão indicadas as suas representações no modelo estrutural.

1° gênero: impede movimento linear em 1 direção;

2° gênero: impede movimento linear nas 2 direções;

3° gênero: impede movimento linear nas 2 direções + a rotação em torno do próprio  ponto.

 

Cada restrição de apoio está associada a uma reação de apoio, que é a força ou momento que o vínculo externo exerce sobre a estrutura. O impedimento a um deslocamento está associado ao aparecimento de uma reação força. O impedimento de uma rotação está associado ao aparecimento de uma reação momento.

Dessa forma, um apoio do 1º gênero está associado a uma reação força vertical. Um apoio do 2º gênero está associado está associado a uma reação força horizontal e uma reação força vertical. Um engaste está associado a três reações de apoio: uma reação força horizontal, uma reação força vertical e uma reação momento.

 

Esforços solicitantes

Os quatro principais esforços internos de uma estrutura são a normal (N), a cortante (C), o momento fletor (M) e o Momento Torçor (T).

Podemos definir esforço normal em uma seção de corte como sendo a soma algébrica das componentes de todas as forças externas na direção perpendicular à referida seção (seção transversal), ou seja, todas as forças de um dos lados isolado pelo corte na direção do eixo x.

O esforço normal será considerado positivo quando alonga a fibra longitudinal (tração) e negativo no caso de encurtamento (compressão).

Podemos definir esforço cortante em uma seção de referência como a soma vetorial das componentes do sistema de forças de um dos lados do corte (referência), sobre o plano da seção considerada.

O efeito do esforço cortante é o de provocar o deslizamento no sentido do esforço de uma seção sobre a outra infinitamente próxima acarretando o corte ou cisalhamento da estrutura.

Seja  q(x) a carga distribuída na estrutura, define-se o esforço cortante como:

O momento fletor em uma seção de referência como a soma vetorial dos momentos provocados pelas forças externas de um dos lados da referência em relação aos eixos contidos pela seção de referência (eixos y e z).

O efeito do momento fletor é provocar o giro a seção tranversal em torno de um eixo contido pela própria seção. As fibras de uma extremidade são tracionadas enquanto que na outra são comprimidas.

O momento fletor Mz é considerado positivo quando traciona as fibras de baixo da estrutura (caso mais comum) e My é positivo quando traciona as fibras internas (no caso da esquerda) da estrutura.

O momento é calculado pela integral da cortante na estrutura.

Se denomina momento torsor ao componente paralelo ao eixo longitudinal do momento de força resultante de uma distribuição de tensões sobre uma seção transversal de prisma mecânico.

O momento torsor representa a soma algébrica dos momentos gerados por cargas contidas ou que possuam componentes a um plano coincidente com a seção, perpendicular a um determinado eixo. Em outras palavras, o momento torsor é a soma algébrica dos momentos, em relação a um eixo perpendicular ao plano da secção e passando pelo seu centro de gravidade, das forças exteriores situadas de um mesmo lado desta secção, e o seu efeito é o de torcer a secção em torno da normal.

O momento torsor pode ainda ser definido em uma seção de referência como a soma algébrica das componentes dos momentos das forças externas de um dos lados da referência em relação ao eixo longitudinal da peça (considerada, por convenção, seu eixo x).

O sistema estrutural na forma de grelha está sujeito a três esforços: esforço cortante, momento fletor e momento torsor. As cargas atuam perpendicular ao plano da estrutura.

Quadro resumo

Estaticidade

A análise do tipo de uma estrutura extrapola o simples contar do número de incógnitas com o número de equações, visto que no caso de estruturas hiperestáticas essa análise é mais complexa. Lembre-se que temos sempre as três equações de equilíbrio:

As estruturas podem ser classificadas em isostáticas, hipostáticas e hiperestáticas. Toda estrutura é dita isostática quanto esta possui vínculos suficientes para garantir a sua total imobilidade.

Neste exemplo temos três equações (de equilíbrio) e três incógnitas.

Toda estrutura é dita hipostática quanto esta não possui vínculos suficientes para garantir a sua total imobilidade.

Veja agora que o apoio A permite deslocamentos horizontais, assim temos duas reações Va e Vb, e a estrutura não possui equilíbrio.

A estrutura é dita hiperestática quanto possui vínculos em abundância para garantir a sua total imobilidade. Quando não é possível a determinação de todos os esforços externos e internos apenas com a aplicação das equações das equações de equilíbrio da Mecânica Geral recorre-se a equações de compatibilidade das deformações.

Incógnitas hiperestáticas (ou redundantes): são os esforços externos ou internos que existem a mais do que aqueles que podem ser determinados com as equações de equilíbrio.

Hiperestaticidade externa: é o número de reações de apoio superior a três.

Hiperestaticidade interna: é o número de incógnitas hiperestáticas supondo conhecidas todas as reações. Ocorre em geral quando um conjunto de barras não todas articuladas entre si, formam uma poligonal fechada.

Hiperestaticidade total: é a soma da externa mais a interna.

Veja que no exemplo abaixo (com quatro reações) o apoio B é “desnecessário” ao equilíbrio da estrutura.

Mostra-se relevante lembrar o conceito de rótula em estruturas. A rótula são descontinuidades criadas para anular os momentos fletores em determinados pontos. Essas estruturas são as chamadas vigas Gerber e sua maior aplicação é em pontes.

A viga Vierendeel é um sistema estrutural formado por barras que se encontram em pontos denominados nós, assim como as treliças. É como se dentro de um quadro rígido (com todas as articulações enrijecidas), formado por uma viga superior e uma inferior, fossem colocados montantes, e a influência de uma barra em outra provoca a diminuição nas suas deformações e, em consequência, nos esforços atuantes, permitindo que o conjunto possa receber um carregamento maior ou vencer um vão maior.

As barras horizontais da viga Vierendeel são chamadas de membruras e as verticais, montantes. A membrura superior e os montantes estão sujeitos a esforços de compressão simples, a momento fletor e a força cortante. Já a membrura inferior a tração simples, a momento fletor e a força cortante.

Por sua exigência por nós rígidos, é interessante a utilização de materiais que facilitam a execução de vínculos rígidos. O aço, com seção tubular retangular, é o mais indicado, assim como, quando utilizado concreto armado, as seções retangulares são recomendadas pela maior facilidade da execução, porém não deixa de ser um trabalho de fôrma extremamente difícil.

São muito utilizadas quando se exige grandes vazios na alma, para passagem de tubulações ou de ventilação e iluminação, ou ainda para tornar vigas de grande porte visualmente mais leves, podendo sustentar ao mesmo tempo coberturas (na membrura superior) e pisos (na membrura inferior.

Uma estrutura é classificada segundo seu grau de estaticidade (g), que relacionará as reações de apoio, rótulas e as forças empregadas sobre a estrutura. O grau de estaticidade pode ser interno e/ou externo.

No mais, para determiná-lo vamos tomar por base a seguinte fórmula:

r é o número de reações de apoio;

i é o número de esforços internos na seção do elemento;

m é o número de membros ou de elementos da estrutura;

e é o número de equações de equilíbrio da estática aplicáveis a cada nó na estrutura;

n é o número de nós da estrutura;

nr é o número de equações adicionais, devidas às seções rotuladas.

A análise dos resultados obtidos para g são a questão fundamental para o tipo de estrutura que se quer construir:

  • Se g < 0 Estrutura hipostática
  • Se g = 0 Estrutura isostática
  • Se g > 0 Estrutura hiperestática

Uma estrutura composta de barras e nós (os vínculos podem ser representados por barras) é uma treliça. Chamando de b o número de barras e n o número de nós (apoio móvel substituído por uma barra e o fixo por duas) tem-se:

  • b < 2n treliça indeterminada ou móvel
  • b = 2n treliça isostática
  • b > 2n treliça hiperestática

 

A expressão b = 2n é necessária, mas não suficiente para a determinação geométrica de uma treliça. Existem “casos excepcionais” em que as treliças apresentam mobilidade apesar de verificada a expressão b = 2n. Os casos mais simples de excepcionalidade podem ser reconhecidos intuitivamente e os mais complexos, através do determinante dos coeficientes do sistema de equações de equilíbrio ∆ = 0 (bastante trabalhoso).

Observe que são necessárias 3 vinculações de apoio, portanto, internamente → bint = 2n – 3

Elementos Finitos

 

O Método dos Elementos Finitos (MEF) é um procedimento numérico para determinar soluções aproximadas de problemas de valores sobre o contorno de equações diferenciais. O MEF subdivide o domínio de um problema em partes menores, denominadas elementos finitos.

 

A subdivisão de um domínio geral em partes simples tem diversas vantagens:

  • representação precisa de geometrias complexas;
  • inclusão de propriedades distintas em materiais dissimilares;
  • identificação de efeitos localizados (concentração de tensões).

 

Uma aplicação típica do método envolve:

  1. Dividir o domínio do problema em uma coleção de subdomínios, sendo cada subdomínio representado por um conjunto de equações que são elemento do problema original, seguido de
  2. Recombinar sistematicamente todos os conjuntos de equações do elemento num sistema global de equações para o cálculo final. O sistema global de equações tem técnicas de solução conhecidas, e pode ser calculado desde o(s) valor(es) iniciais do problema original, para obter uma resposta numérica. Esse procedimento pode ser visto com mais detalhes para o caso de elementos finitos na mecânica estrutural.

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