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Engenharia

Engenharia Civil – Hiperestática

By 15 de março de 2019 No Comments

1. Introdução

 

Estruturas hiperestáticas são aquelas em que o número de reações é superior ao de equações da estática, sendo portanto, essas equações, somente, insuficientes para a determinação das reações.
A determinação das reações que atuam nestas estruturas são geralmente calculadas pelo Método das Forças (mais útil para concursos) ou pelo Método dos Deslocamentos. No método das forças, as variáveis são os esforços; no método dos deslocamentos, as deformações.
O grau de hiperestaticidade de uma estrutura é determinado pelo número de reações excedentes àquelas necessárias para o seu equilíbrio.

Resolver uma estrutura é determinar todos os seus esforços, externos e internos, ou seja, determinar as reações de apoio e chegar aos diagramas de esforços internos solicitantes. Para obter os esforços externos reativos ou reações de apoio, nos utilizamos das equações de equilíbrio da Estática:

Caso a estrutura possua uma ou mais articulações, desde que seja possível a divisão da estrutura em duas partes através de um corte por uma articulação, podemos nos valer de equações que expressam ser nulo o momento fletor em uma articulação, isto é, o momento dos esforços externos de uma das partes resultantes da divisão, em relação à articulação, é nulo.

Para obter o momento desses esforços na articulação, utilizamos a equivalência estática. Portanto, é a Estática que nos dá a equação de momento fletor nulo na articulação. Observamos que cada articulação permite escrever um número de equações de momento fletor nulo igual ao número de seções ligadas por essa articulação menos um.

As estruturas isostáticas são aquelas podem ser integralmente resolvidas com o emprego das equações da Estática. Na determinação das reações nas estruturas isostáticas, o número de incógnitas de reação é igual ao número de equações que a Estática nos dá.

Se, porém, a estrutura possui um número de incógnitas de reação de apoio superior ao número de equações que a Estática pode fornecer, não será possível determinar todas as reações de apoio apenas com o emprego da Estática. Nesse caso, se diz que a estrutura é hiperestática.

Como as incógnitas que a Estática não pode determinar são esforços externos (esforços externos reativos, ou reações de apoio), dizemos que estrutura é externamente hiperestática.

 

2. Princípio de D’Alembert e conceitos de Trabalho Virtual

A soma das diferenças entre as forças agindo em um sistema e as derivadas no tempo dos momenta do sistema ao longo de um deslocamento virtual consistente com os vínculos do sistema, é zero. Ou, matematicamente:

Princípio dos Trabalhos Virtuais

Para um corpo elástico, que atingiu uma configuração de equilíbrio, o trabalho virtual total das forças externas que sobre ele atuam é igual ao trabalho virtual das forças internas (esforços simples) nele atuantes, para todos os deslocamentos virtuais arbitrários (compatíveis com os vínculos externos) que lhe impomos.

 

Esforços Deformações relativas Fórmula
M (Momento) Rotação relativa de duas seções distantes  ds devido à flexão dφ=MdsEI
N (Normal) Translação das seções na direção do eixo da barra dδ=NdsEA
Q (Cortante) Translação na direção transversal ao eixo da barra dh=ℵQdsGA

 

E     Módulo de Elasticidade Longitudinal

G     Módulo de Elasticidade Transversal

A     Área da Seção Transversal

I     Momento de Inércia

ℵ     Coeficiente devido à distribuição não uniforme das tensões de cisalhamento

 

Trabalho Virtual das Forças Externas

Suponha que queremos calcular a deformação δ devido ao carregamento externo qualquer num ponto C da estrutura. Esse carregamento impõe os esforços M, N e Q.

O Trabalho Virtual das Forças Externas é dado por:

Força Virtual unitária aplicada no ponto e direção em que se deseja calcular o deslocamento

 

Trabalho Virtual das Forças Internas

 

A força unitária   impõe os esforços 

O Trabalho Virtual das Forças Internas é dado por:

Substituindo as expressões da Resistência dos materiais:

Fórmula de Mohr

Igualando Wint com Wext temos:

Para a maioria das situações práticas, a Fórmula de Mohr pode ser simplificada.

A parcela relativa ao esforço cortante , somente não deve ser desprezada em caso de vãos muito curtos e cargas muito elevadas. (Ex.: Estruturas em console)

A parcela relativa ao esforço normal , somente não deve ser desprezada em caso de estruturas que trabalhem predominantemente solicitadas pelo esforço normal. (Ex.: Treliças, Tirantes, Escoras, Pilares Esbeltos, Arcos, Peças Protendidas em geral, etc)

Assim temos a versão simplificada:

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